Intersección de planos

A. Casos de intersección de planos

Las intersecciones de planos es un tema sencillo del sistema diédrico si se comprenden los conceptos claramente desde el principio. Así que tengo ante mí el reto de explicarlo lo mejor posible para que lo entiendas de forma definitiva. Empezaremos por lo más básico:

1. La intersección de 2 rectas en el espacio es un punto.

sto quiere decir que cuando dos rectas se cortan, existe un único punto en común, es decir, un punto que pertenece a ambas y se llama punto de intersección. Dos rectas se cortan en el espacio si son coplanarias. Si dos rectas no tienen ningún punto en común, entonces estas rectas se cruzan en el espacio. La manera de detectar que dos rectas se cortan es mirando si los puntos de corte de las proyecciones verticales coincide con los puntos de corte de las proyecciones horizontales. 

2. La intersección de 2 planos en el espacio es una recta.

Esta recta obviamente es común a ambos planos, es decir, pertenece a ambos planos simultáneamente. Para definir cualquier recta solo necesitamos 2 puntos de la misma y eso es lo que haremos para encontrar la recta de intersección. Estos dos puntos los conseguiremos de la intersección de dos pares de rectas. 3. La intersección de 3 planos en el espacio es un punto. Si tenemos por ejemplo los planos A, B y C, los planos A-B dan una recta de intersección i1, los planos B-C dan otra recta de intersección i2. La intersección de estas dos rectas i1-i2 es un punto, como he explicado en el primer punto. Este será el punto de intersección de los 3 planos. 

B. Intersección de 2 planos

Como he dicho, para definir la recta de intersección de dos planos necesitamos 2 puntos de la misma y estos puntos los obtendremos de la intersección de dos pares de rectas. Para que dos rectas se corten hemos dicho que tenían que ser coplanarias y, por tanto, lo más sencillo será que utilicemos las trazas del plano. Las trazas del plano son las rectas de intersección de un plano con los planos de proyección. Por tanto, si utilizamos las trazas de los planos estamos utilizando rectas coplanarias y como consecuencia nos estamos asegurando que se cortan. Volviendo al ejemplo anterior de los planos A y B, la intersección del plano A con el plano vertical de proyección es la traza A’ (una recta). De la misma manera, la intersección del plano B con el plano vertical de proyección es la traza B’ (también una recta). La intersección de las trazas A’ con B’ nos da necesariamente un único punto, porque son rectas coplanarias (ambas pertencen al plano vertical de proyección). El punto que conseguimos en la intersección es V definido por su proyección horizontal v y vertical v’. Si sigues el mismo razonamiento para las trazas horizontales verás que obtenemos el punto H (h’-h). Si unes H con V, es decir h’-v’ y h-v obtienes la recta intersección I (i’-i) de los planos A, B.